Matematika Sebagai Bahasa dan Matematika Sebagai Raja Sekaligus Pelayan

 

 

         Di manakah letak konsep-konsep matematika, misalnya letak bilangan 1 ? Banyak para pakar matematika, misalnya para pakar Teori Model (lihat model matematika) yang juga mendalami filsafat di balik konsep-konsep matematika bersepakat bahwa semua konsep-konsep matematika secara universal terdapat di dalam pikiran setiap manusia. 

Jadi, yang dipelajari di dalam matematika adalah berbagai lambang dan ungkapan untuk mengomunikasikannya. Misalnya orang Jawa secara lisan memberi lambang bilangan 3 dengan mengatakan Telu sedangkan dalam bahasa Indonesia, bilangan tersebut dilambangkan melalui ucapan Tiga. Inilah sebabnya, banyak pakar mengkelompokkan matematika ke dalam kelompok bahasa, atau lebih umum lagi dalam kelompok (alat) komunikasi, bukan ilmu pengetahuan. 

Dalam pandangan formalis, matematika adalah penelaahan struktur abstrak yang didefinisikan secara aksiomatis dengan menggunakan logika simbolik dan notasi matematika; ada pula pandangan lain, misalnya yang dibahas dalam filsafat matematika. 

       Struktur spesifik yang diselidiki oleh matematikawan sering kali berasal dari ilmu pengetahuan alam, dan sangat umum di fisika, tetapi matematikawan juga mendefinisikan dan menyelidiki struktur internal dalam matematika itu sendiri, misalnya, untuk menggeneralisasikan teori bagi beberapa sub-bidang, atau alat bantu untuk perhitungan biasa. Akhirnya, banyak matematikawan belajar bidang yang dilakukan mereka untuk sebab estetis saja, melihat ilmu pasti sebagai bentuk seni daripada sebagai ilmu praktis atau terapan. 

Matematika tingkat lanjut digunakan sebagai alat untuk mempelajari berbagai gejala fisika yang kompleks, khususnya berbagai gejala alam yang teramati, agar pola struktur, perubahan, ruang dan sifat-sifat gejala bisa didekati atau dinyatakan dalam sebuah bentuk perumusan yang sistematis dan penuh dengan berbagai perjanjian, lambang, dan notasi. Hasil perumusan yang menggambarkan perilaku atau proses gejala fisika tersebut biasa disebut model matematika dari gejala. 

    Ada pendapat terkenal yang memandang matematika sebagai pelayan dan sekaligus raja dari ilmu-ilmu lain. Sebagai pelayan, matematika adalah ilmu yang mendasari dan melayani berbagai ilmu pengetahuan lain. Sejak masa sebelum masehi, misalnya zaman Mesir kuno, cabang tertua dan termudah dari matematika (aritmetika) sudah digunakan untuk membuat piramida, digunakan untuk menentukan waktu turun hujan, dan sebagainya. 

Sebagai raja, perkembangan matematika tak tergantung pada ilmu-ilmu lain. Banyak cabang matematika yang dulu biasa disebut matematika murni, dikembangkan oleh beberapa matematikawan yang mencintai dan belajar matematika hanya sebagai kegemaran tanpa memedulikan fungsi dan manfaatnya untuk ilmu-ilmu lain. Dengan perkembangan teknologi, banyak cabang-cabang matematika murni yang ternyata di kemudian hari bisa diterapkan dalam berbagai ilmu pengetahuan dan teknologi mutakhir.

Matematika Sebagai Ilmu Pengetahuan

 

Carl Friedrich Gauss mengatakan matematika sebagai “Ratunya Ilmu Pengetahuan”. Di dalam bahasa aslinya, Latin Regina Scientiarum, juga di dalam bahasa Jerman Königin der Wissenschaften, kata yang bersesuaian dengan ilmu pengetahuan berarti (lapangan) pengetahuan. Jelas, inipun arti asli di dalam bahasa Inggris, dan tiada keraguan bahwa matematika di dalam konteks ini adalah sebuah ilmu pengetahuan. 

Pengkhususan yang mempersempit makna menjadi ilmu pengetahuan alam adalah di masa terkemudian. Bila seseorang memandang ilmu pengetahuan hanya terbatas pada dunia fisika, maka matematika, atau sekurang-kurangnya matematika murni, bukanlah ilmu pengetahuan. Albert Einstein menyatakan bahwa “sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, maka mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan.”

Banyak filsuf yakin bahwa matematika tidaklah terpalsukan berdasarkan percobaan, dan dengan demikian bukanlah ilmu pengetahuan per definisi Karl Popper. Tetapi, di dalam karya penting tahun 1930-an tentang logika matematika menunjukkan bahwa matematika tidak bisa direduksi menjadi logika, dan Karl Popper menyimpulkan bahwa “sebagian besar teori matematika, seperti halnya fisika dan biologi, adalah hipotetis-deduktif : oleh karena itu matematika menjadi lebih dekat ke ilmu pengetahuan alam yang hipotesis-hipotesisnya adalah konjektur (dugaan), lebih daripada sebagai hal yang baru.” Para bijak bestari lainnya, sebut saja Imre Lakatos, telah menerapkan satu versi pemalsuan kepada matematika itu sendiri. 

Sebuah tinjauan alternatif adalah bahwa lapangan-lapangan ilmiah tertentu (misalnya fisika teoretis) adalah matematika dengan aksioma-aksioma yang ditujukan sedemikian sehingga bersesuaian dengan kenyataan. Faktanya, seorang fisikawan teoretis, J. M. Ziman, mengajukan pendapat bahwa ilmu pengetahuan adalah pengetahuan umum dan dengan demikian matematika termasuk di dalamnya. 

Di beberapa kasus, matematika banyak saling berbagi dengan ilmu pengetahuan fisika, sebut saja penggalian dampak-dampak logis dari beberapa anggapan. Intuisi dan percobaan juga berperan penting di dalam perumusan konjektur-konjektur, baik itu di matematika, maupun di ilmu-ilmu pengetahuan (lainnya). Matematika percobaan terus bertumbuh kembang, mengingat kepentingannya di dalam matematika, kemudian komputasi dan simulasi memainkan peran yang semakin menguat, baik itu di ilmu pengetahuan, maupun di matematika, melemahkan objeksi yang mana matematika tidak menggunakan metode ilmiah. Di dalam bukunya yang diterbitkan pada 2002 A New Kind of Science, Stephen Wolfram berdalil bahwa matematika komputasi pantas untuk digali secara empirik sebagai lapangan ilmiah di dalam haknya/kebenarannya sendiri. 

Pendapat-pendapat para matematikawan terhadap hal ini adalah beraneka macam. Banyak matematikawan merasa bahwa untuk menyebut wilayah mereka sebagai ilmu pengetahuan sama saja dengan menurunkan kadar kepentingan sisi estetikanya, dan sejarahnya di dalam tujuh seni liberal tradisional; yang lainnya merasa bahwa pengabaian pranala ini terhadap ilmu pengetahuan sama saja dengan memutar-mutar mata yang buta terhadap fakta bahwa antarmuka antara matematika dan penerapannya di dalam ilmu pengetahuan dan rekayasa telah mengemudikan banyak pengembangan di dalam matematika. 

Satu jalan yang dimainkan oleh perbedaan sudut pandang ini adalah di dalam perbincangan filsafat apakah matematika diciptakan (seperti di dalam seni) atau ditemukan (seperti di dalam ilmu pengetahuan). Adalah wajar bagi universitas bila dibagi ke dalam bagian-bagian yang menyertakan departemen Ilmu Pengetahuan dan Matematika, ini menunjukkan bahwa lapangan-lapangan itu dipandang bersekutu tetapi mereka tidak seperti dua sisi keping uang logam. 

Pada tataran praktisnya, para matematikawan biasanya dikelompokkan bersama-sama para ilmuwan pada tingkatan kasar, tetapi dipisahkan pada tingkatan akhir. Ini adalah salah satu dari banyak perkara yang diperhatikan di dalam filsafat matematika. 

Penghargaan matematika umumnya dipelihara supaya tetap terpisah dari kesetaraannya dengan ilmu pengetahuan. Penghargaan yang adiluhung di dalam matematika adalah Fields Medal (medali lapangan), dimulakan pada 1936 dan kini diselenggarakan tiap empat tahunan. Penghargaan ini sering dianggap setara dengan Hadiah Nobel ilmu pengetahuan. Wolf Prize in Mathematics, dilembagakan pada 1978, mengakui masa prestasi, dan penghargaan internasional utama lainnya, Hadiah Abel, diperkenalkan pada 2003. Ini dianugerahkan bagi ruas khusus karya, dapat berupa pembaharuan, atau penyelesaian masalah yang terkemuka di dalam lapangan yang mapan. 

Sebuah daftar terkenal berisikan 23 masalah terbuka, yang disebut “masalah Hilbert”, dihimpun pada 1900 oleh matematikawan Jerman David Hilbert. Daftar ini meraih persulangan yang besar di antara para matematikawan, dan paling sedikit sembilan dari masalah-masalah itu kini terpecahkan. Sebuah daftar baru berisi tujuh masalah penting, berjudul “Masalah Hadiah Milenium”, diterbitkan pada 2000. Pemecahan tiap-tiap masalah ini berhadiah US$ 1 juta, dan hanya satu (hipotesis Riemann) yang mengalami penggandaan di dalam masalah-masalah Hilbert. 

 METODE PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA

        Pemecahan masalah dapat dianggap sebagai metode pembelajaran dimana siswa berlatih memecahkan persoalan. Persoalan tersebut dapat datang dari guru, suatu fenomena atau persoalan sehari-hari yang dijumpai siswa. Pemecahan masalah mengacu fungsi otak anak, mengembangkan daya pikir secara kreatif untuk mengenali masalah dan mencari alternatif pemecahannya
Branca menyatakan bahwa istilah pemecahan masalah dapat mempunyai pengertian yang berbeda menurut waktu dan individu. Selanjutnya Branca menyatakan bahwa pemecahan masalah dalam matematika meliputi penyelesaian soal cerita, menyelesaikan soal yang tidak rutin, mengaplikasikan matematika dalam kehidupan sehari-hari atau keadaan lain, membuktikan, dan menciptakan.
Sumarmo menyatakan bahwa pendekatan mengajar pemecahan masalah menekankan pada tiga hal, yaitu meningkatkan sikap positif siswa terhadap matematika, mendorong siswa untuk berpartisipasi aktif, dan menghadapkan siswa pada keterampilan yang menantang agar siswa berlatih melakukan pemecahan masalah dan berpikir analitik. Hal ini sesuai dengan pendapat Soedjadi yang menyatakan bahwa betapapun tepat dan baik bahan ajaran matematika yang ditetapkan belum menjamin akan tercapai tujuan pendidikan matematika yang diinginkan. Salah satu faktor yang penting untuk mencapai tujuan pendidikan adalah proses belajar mengajar yang dilaksanakan.
Tugas atau soal pemecahan masalah matematika dapat diberikan dalam bentuk individu atau kelompok. Pekerjaan rumah yang diberikan kepada siswa berarti memberi kesempatan kepada siswa untuk mendapatkan pengertian yang luas tentang topik‑topik dan konsep‑konsep yang telah diajarkan di dalam kelas dan menyediakan sebuah pola dalam menganalisis materi secara lebih mendalam.
Pemecahan masalah matematika memuat “pemecahan masalah” sebagai perilaku kognitif dan “matematika” sebagai objek yang dipelajari. Proses berpikir dalam pemecahan masalah matematika memerlukan kemampuan intelek tertentu yang akan mengorganisasi strategi yang ditempuh sesuai dengan data dan per­masa­lahan yang dihadapi. Oleh karena itu dapat dipahami bahwa penguasaan pemecahan masalah matematika terlebih dahulu dituntut penguasaan aspek kognitif yang lebih rendah, yaitu ingatan, pemahaman, dan aplikasi.


Dalam proses pembelajaran dengan pendekatan masalah, terdapat 3 pendekatan yang sangat berbeda yaitu:

1. Mengajar melalui Pemecahan  masalah

Pendekatan ini ditegaskan pada penggunaan pemecahan masalah sebagai tujuan untuk mengajarkan isi mata pelajaran.

1. Mengajar tentang Pemecahan masalah

Pendekatan ini melibatkan pembelajaran langsung tentang strategi umum pendekatan masalah.

1. Mengajar untuk Pemecahan masalah

Pendekatan ini difokuskan pada mengajarkan strategi umum pemecahan masalah dengan memberikan kesempatan kepada siswa untuk memecahkan masalah.
Akan tetapi dalam pelaksanaan pembelajaran matematika digunakan pendekatan yang memadukan ketiga pendekatan di atas untuk memecahkan masalah yang tepat. Langkah-langkah dalam memecahkan masalah.

• Mengenali bahwa masalah itu ada
• Mengidentifikasi masalah
• Mengumpulkan data untuk membuat hipotesis
• Menguji hipotesis
  • Mengevaluasi solusi dan membuat kesimpulan berdasarkan bukti-bukti yang ada.

Jenis – Jenis Bilangan dan Contohnya

Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Bilangan banyak yang menyamakan arti dengan angka atau nomor. sebenarnya angka merupakan sebuah simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan. Sedangkan nomor adalah suatu istilah yang digunakan untuk menunjuk pada satu atau lebih angka yang melambangkan sebuah bilangan bulat dalam suatu barisan bilangan-bilangan bulat yang berurutan. seperti contohnya “nomor 10” maka akan merujuk ke bilangan dengan angka 10 dalam susunan bilangan bulat.
Berikut ini ada bagan jenis jenis bilangan :

Bagan jenis bilangan

1. Bilangan Kompleks
Bilangan Kompleks adalah bilangan yang berbentuk , dimana a dan b bilangan real dan i adalah bilangan imajiner.

2. Bilangan Real
Bilangan Real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk desimal. Bilangan real mencakup bilangan rasional dan irasional.

3. Bilangan Imajiner
Bilangan Imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat .

4. Bilangan Rasional
Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pecahan dimana “a” dan “b” bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0.
Bilangan rasional terdiri dari bilangan bulat, bilangan pecahan, bilangan nol, bilangan asli, bilangan cacah, bilangan prima, bilangan komposit

5. Bilangan Irasional
Bilangan Irasional adalah bilangan yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti).
Contoh: Bilangan , , dan bilangan .

6. Bilangan Bulat
Bilangan Bulat adalah semua bilangan bukan pecahan. Bilangan bulat terdiri dari bilangan nol, positif dan negatif.
Contoh : Bilangan positif 1,2,3,4,5,6,7,… ,bilangan negatif …,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1 dan bilangan nol “0”

7. Bilangan Pecahan
Bilangan Pecahan adalah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk dengan “a” adalah bilangan pembilang dan “b” adalah bilangan penyebut. Dengan “b” tidak boleh sama dengan nol.
Contoh : Bilangan , , , , dll

8. Bilangan Cacah
Bilangan Cacah adalah bilangan bulat yang dimulai dari nol.
yang termasuk bilangan ini adalah : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,…

9. Bilangan Asli
Bilangan Asli adalah bilangan bulat yang dimulai dari satu.
yang termasuk bilangan ini adalah : 1,2,3,4,5,6,7,8,9,…

10. Bilangan Genap
Bilangan Genap adalah bilangan bulat yang habis dibagi dua.
Contoh : Bilangan 2, 4, 6, 8, 10, 14, 20,… dll.

11. Bilangan Ganjil
Bilangan Ganjil adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi dua.
Contoh : Bilangan 1, 3, 5, 7, 11, 17, 21, 31,… dll.

 KUBUS

             1.       Pengertian kubus

Menurut kamus besar bahasa Indonesia, kubus adalah ruang yang berbatas enam bidang segi empat (seperti dadu). Pengertian kubus menurut penulis adalah bangun ruang yang terbentuk dari enam sisi yang berbentuk persegi.Pengertian lain dari kubus adalah bangun ruang yang semua sisinya berbentuk persegi dan semua rusuknya sama panjang.

Dari beberapa pengertian di atas dapat disimpulkan bahwa pengertian kubus adalah bangun ruang yang memiliki enam sisi yang semua sisinya berbentuk persegi dan memiliki 12 rusuk yang semua rusuknya sama panjang.

Perhatikan contoh gambar kubus berikut ini!

Gambar: Kubus ABCD.EFGH

2.      Unsur-unsur kubus

Beberapa unsur-unsur kubus yaitu :

a.        Sisi kubus dan bidang

Sisi kubus adalah bidang yang membatasi kubus. Jika kita perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH secara seksama, maka dari gambar tersebut kita dapat menyimpulkan bahka kubus merupakan bangun ruang yang memiliki 6 buah sisi yang semuanya berbentuk persegi.Sisi-sisi dari kubus tersebut adalah;

1.      Sisi bawah (ABCD)

2.      Sisi atas (EFGH)

3.      Sisi depan (ABFE)

4.      Sisi belakang (DCGH)

5.      Sisi samping kiri (BCGF)

6.      Sisi samping kanan (ADHE)

b.        Rusuk

Rusuk kubus adalah garis potong antara dua sisi bidang kubus dan terlihat seperti kerangka yang menyusun kubus.Masih pada gambar kubus yang sama yaitu kubus ABCD.EFGH yang memiliki 12 rusuk, yaitu; AB, BC, CD, DA, AE, BF, CG, DH, EF, FG, GH, dan HE.

c.        Titik sudut

Titik sudut adalah titik potong antara dua atau tiga rusuk. Pada gambar kubus yang sama yaitu kubus ABCD.EFGH terlihat bahwa kubus tersebut memiliki 8 sudut, yaitu; A, B, C, D, E, F, G dan H.

d.       Diagonal bidang atau diagonal sisi

Sekali lagi marilah kita perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di atas, jika kita menginginkan menarik garis pada masing-masing sudut yang berhadapan pada setia sisi atau bidang maka kita akan menemukan garis yang akan membentuk segitiga sama kaki, garis tersebut disebut diagonal bidang atau diagonal sisi. Pada kubus ABCD.EFGH memiliki 12 diagonal bidan atau diagonal sisi yaitu AF, BE, BG, FC, CH, DG, AH, DE, BD, AC, EG dan HG.

e.        Diagonal ruang

Diagonal ruang adalah garis yang menghubungkan dua titik sudut yang saling berhadapan dalam satu ruang. Pada kubus ABCD.EFGH tersebut terdapat 4 diagonal ruang, yaitu garis BH, DF, AG, dan EC.

f.         Bidang diagonal

Bidang diagonal adalah bidang yang dibentuk dari dua garis diagonal bidang dan dua rusuk kubus yang sejajar.
Pada kubus ABCD. EFGH tersebut memiliki 4 bidang diagonal, yaitu; bidang diagonal ACGE, DBFH, ABGH dan EFCD.

         SEGITIGA

1.      Pengertian segitiga

Segitiga adalah bangun datar yang dibentuk oleh tiga garis lurus yang saling berpotongan. Segitiga dibentuk oleh 3 buah titik sudut yang letaknya tidak segaris dihubungkan. Untuk setiap segitiga selalu berlaku sifat-sifat yaitu;

a.         Jumlah panjang dua sisi selalu lebih besar dari pada panjang sisi segitiga

b.        Jumlah sudut-sudut sebuah segitiga adalah 180 derajat

c.         Sudut terbesar adalah sudut yang menghadap sisi terpanjang, sedangkan sudut terkecil adalah sudut yang menghadap sisi terpendek

d.        Besar sudut luar sama dengan jumlah dua sudut yang tidak tegak lurus dengan sudut luar tersebut. Tentang segitiga, banyak dibahas dalam ilmu matematika.

2.      Jenis-jenis segitiga

Jenis-jenis segitiga ditentukan oleh panjang sisi-sisi dan besar sudut yang dimilikinya. Jenis segitiga berdasarkan panjang sisi-sisi, yaitu:

a.       Segitiga Sama Kaki: jika ketiga sisi segitiga sama panjang

b.       Segitiga Sama Sisi: jika dua di antara sisi segitiga itu sama panjang

c.        Segitiga Sembarang: jika ketiga sisi segitiga tidak sama.

Jenis segitiga berdasarkan besar sudut,yaitu:

a.            Segitiga Lancip: jika besar setiap sudut segitiga kurang dari 90 derajat

(merupakan sudut lancip)

b.            Segitiga Siku-siku: jika salah satu sudut dan segitiga besarnya sama

dengan 90 derajat

c.             Segitiga Tumpul: jika salah satu sudut segitiga besarnya lebih besar dari 90 derajat.

3.      Rumus-rumus segitiga

Rumus segitiga secara umum adalah rumus keliling dan luas segitiga. Untuk menghitung keliling dari segitiga digunakan rumus: